TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 132

\displaystyle K_{\mathrm {e} }=(\gamma -1)m_{\mathrm {e} }c^{2},

{\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {A}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

Movimento e energia[editar | editar código-fonte]

De acordo com a teoria da relatividade especial de Einstein, a medida que um elétron se aproxima da velocidade da luz, do ponto de vista de um observador sua massa relativística aumenta, e por causa disso torna-se mais difícil acelerar a partir de dentro do plano do observador de referência. A velocidade do elétron pode se aproximar, mas nunca alcançar, a velocidade da luz no vácuo, c. Entretanto, quando elétrons relativísticos- isto é, elétrons se movendo a uma velocidade próxima de c-são injetados em um meio dielétrico tal como a água, onde a velocidade local da luz é significantemente menor que c, os elétrons temporariamente se movem mais rápido do que a luz no meio. A medida que interagem com o meio, eles geral uma luz fraca denominada radiação Cherenkov.^[129]

Fator de Lorentz em função da velocidade. Inicia com o valor 1 e tende ao infinito a medida que v se aproxima de c.

Os efeitos da relatividade especial são baseados em uma quantidade conhecida como fator de Lorentz definido como

\scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}

onde ‘’v’’ é a velocidade da partícula. A energia cinética K_ede um elétron se movendo com velocidade v é:

\displaystyle K_{\mathrm {e} }=(\gamma -1)m_{\mathrm {e} }c^{2},

onde m_e é a massa do elétron. Por exemplo, o Centro Acelerador Linear de Stanford pode acelerar um elétron a aproximadamente 51 GeV.^[130] Uma vez que um elétron se comporta como um onda, em uma dada velocidade tem a característica do comprimento de onda de Broglie. Isto é dado por λ_e = h/p onde h é a constante de Planck e p é o momento.^[52] Para o elétron de 51 GeV acima, o comprimento de onda é aproximadamente 2.4×10⁻¹⁷ m, que é pequeno o suficiente para explorar estruturas inferiores ao tamanho do núcleo atômico.^[13

{\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {A}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\vec {m}}=A\,I\,{\vec {e}}_{\mathrm {n} }

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

**Momento magnético $\mu$ de algumas partículas elementares** ^[2]
Partícula	Momento dipolo magnético em unidades SI, $\mu$ (10⁻²⁷ J/T)	Spin (adimensional)
eletrão	-9284.764	1/2
protão	14.106067	1/2
neutrão	-9.66236	1/2
muão	-44.904478	1/2
deuterão	4.3307346	1
trítio	15.046094	1/2

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

sábado, 19 de janeiro de 2019

{\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {A}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\vec {m}}=A\,I\,{\vec {e}}_{\mathrm {n} }

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

**Momento magnético $\mu$ de algumas partículas elementares** ^[2]
Partícula	Momento dipolo magnético em unidades SI, $\mu$ (10⁻²⁷ J/T)	Spin (adimensional)
eletrão	-9284.764	1/2
protão	14.106067	1/2
neutrão	-9.66236	1/2
muão	-44.904478	1/2
deuterão	4.3307346	1
trítio	15.046094	1/2

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

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Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

quarta-feira, 23 de janeiro de 2019

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

\left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi

\left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi

\left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} + \ mathbf {w} | ^ {2}}

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} \, \ mathbf {w} | ^ {2}.}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle P (A {\ text {a}} B) \ para D_ {F} (x_ {B} -x_ {A}), \ quad E (C {\ texto {a}} D) \ para S_ {F} (x_ {D} -x_ {C})}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -m) \ psi - {\ frac {1} {4}} F_ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu},}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -e {\ bar {\ psi}} \ gamma _ { \ psi -m {\ bar {\ psi}} \ psi - {\ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}.}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -m \ psi = e \ gamma _ {\ mu} (A ^ {\ mu} + B ^ {\ mu}) \ psi .}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle \ partial} {\ nu \ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi.}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle \ Caixa A ^ {\ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi,}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle M_ {fi} = \ langle f | U | i \ rangle.}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle V = e \ int d ^ {3} x \ {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi A _ {\ mu},}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle U = T \ exp \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '\, V (t') \ right],}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

{\ displaystyle M_ {fi} = (isto é) ^ {2} {\ overline {u}} ({\ vec {p}} ', s') \ epsilon \! \! \! / \, '({\ vec {k}} ', \ lambda') ^ {*} {\ frac {p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e}} {(p + k) ^ { 2} -m_ {e} ^ {2}}} \ epsilon \! \! \! / ({\ Vec {k}}, \ lambda) u ({\ vec {p}}, s) + (ie) ^ {2} {\ overline {u}} ({\ vec {p}} ', s') \ epsilon \! \! \! / ({\ Vec {k}}, \ lambda) {\ frac {p \! \! \! / - k \! \! \! / '+ m_ {e}} {(p-k') ^ {2} -m_ {e} ^ {2}}} \ epsilon \! \ ! \! / \, '({\ vec {k}}', \ lambda ') ^ {*} u ({\ vec {p}}, s),}

x

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

E = h \nu = \hbar \omega

A visão de Feynman da eletrodinâmica quântica [ editar ]

Introdução [ edit ]

Perto do fim de sua vida, Richard P. Feynman fez uma série de palestras sobre QED destinadas ao público leigo. Essas palestras foram transcritas e publicadas como Feynman (1985), QED: A estranha teoria da luz e da matéria , ^[1] uma clássica exposição não-matemática da QED do ponto de vista articulado abaixo.

Os principais componentes da apresentação de QED por Feynman são três ações básicas. ^[1]^: 85

Um fóton vai de um lugar e hora para outro lugar e hora.

Um elétron vai de um lugar e hora para outro lugar e hora.

Um elétron emite ou absorve um fóton em um determinado local e hora.

Elementos do diagrama de Feynman

Essas ações são representadas na forma de taquigrafia visual pelos três elementos básicos dos diagramas de Feynman : uma linha ondulada para o fóton, uma linha reta para o elétron e uma junção de duas linhas retas e uma ondulada para um vértice representando emissão ou absorção de um fóton por um elétron. Tudo isso pode ser visto no diagrama adjacente.

Assim como a abreviatura visual das ações, Feynman introduz outro tipo de abreviação para as grandezas numéricas chamadas de amplitudes de probabilidade . A probabilidade é o quadrado do valor absoluto da amplitude da probabilidade total,

{\ displaystyle {\ text {probabilidade}} = | f ({\ text {amplitude}}) | ^ {2}}

. Se um fóton se move de um lugar e hora

UMA

para outro lugar e hora

B

, a quantidade associada é escrita na forma abreviada de Feynman

{\ displaystyle P (A {\ texto {a}} B)}

. A quantidade similar de um elétron passando de

C

para

D

está escrito

{\ displaystyle E (C {\ texto {a}} D)}

. A quantidade que nos informa sobre a amplitude de probabilidade para a emissão ou absorção de um fóton que ele chama de j . Isto está relacionado com, mas não o mesmo que, a carga de elétrons medida e . ^[1]^: 91

O QED baseia-se na suposição de que interações complexas de muitos elétrons e fótons podem ser representadas pela combinação de uma coleção adequada dos três blocos de construção acima e usando as amplitudes de probabilidade para calcular a probabilidade de qualquer interação complexa. Acontece que a idéia básica de QED pode ser comunicada assumindo que o quadrado do total das amplitudes de probabilidade mencionadas acima ( P ( A para B ), E ( C para D ) ej ) atua exatamente como a nossa probabilidade cotidiana(uma simplificação feita no livro de Feynman). Mais tarde, isso será corrigido para incluir especificamente a matemática do estilo quântico, seguindo Feynman.

As regras básicas das amplitudes de probabilidade que serão usadas são: ^[1]^: 93

Se um evento pode acontecer de várias maneiras diferentes, então sua amplitude de probabilidade é a soma das amplitudes de probabilidade das maneiras possíveis.
Se um processo envolve um número de subprocessos independentes, então sua amplitude de probabilidade é o produto das amplitudes de probabilidade do componente.

Construções Básicas [ edit ]

Suponha que começamos com um elétron em um determinado lugar e tempo (esse lugar e hora recebendo o rótulo arbitrário A ) e um fóton em outro lugar e tempo (dado o rótulo B ). Uma questão típica do ponto de vista físico é: "Qual é a probabilidade de encontrar um elétron em C (outro lugar e mais tarde) e um fóton em D (ainda outro lugar e tempo)?". O processo mais simples para alcançar este fim é o elétron se mover de A para C (uma ação elementar) e para o fóton se mover de B para D (outra ação elementar). A partir do conhecimento das amplitudes de probabilidade de cada um desses subprocessos - E( A a C ) e P ( B a D ) - esperaríamos calcular a amplitude de probabilidade de ambos acontecendo juntos multiplicando-os, usando a regra b) acima. Isso fornece uma amplitude de probabilidade geral estimada simples, que é ao quadrado para fornecer uma probabilidade estimada.

Efeito Compton

Mas existem outras maneiras pelas quais o resultado final pode acontecer. O elétron pode se mover para um lugar e um tempo E , onde absorve o fóton; então siga em frente antes de emitir outro fóton em F ; em seguida, passar para C , onde é detectada, enquanto que o novo fotão se move para D . A probabilidade deste complexo processo pode ser novamente calculada conhecendo-se as amplitudes de probabilidade de cada uma das ações individuais: três ações elétricas, duas ações de fótons e dois vértices - uma emissão e uma absorção. Esperaríamos encontrar a amplitude de probabilidade total multiplicando as amplitudes de probabilidade de cada uma das ações, para quaisquer posições escolhidas de E e F. Em seguida, usando a regra a) acima, tem que somar todas essas amplitudes de probabilidade para todas as alternativas para E e F . (Isso não é elementar na prática e envolve integração .) Mas há outra possibilidade, que é que o elétron primeiro se move para G , onde emite um fóton, que vai para D , enquanto o elétron se move para H , onde absorve o primeiro fóton, antes de passar para C . Mais uma vez, podemos calcular a amplitude de probabilidade dessas possibilidades (para todos os pontos G e H). Em seguida, temos uma estimativa melhor para a amplitude de probabilidade total, adicionando as amplitudes de probabilidade dessas duas possibilidades à nossa estimativa simples original. A propósito, o nome dado a esse processo de um fóton interagindo com um elétron dessa maneira é o espalhamento de Compton .

Existe um número infinito de outros processos intermediários nos quais mais e mais fótons são absorvidos e / ou emitidos. Para cada uma dessas possibilidades, existe um diagrama de Feynman descrevendo-o. Isto implica uma computação complexa para as amplitudes de probabilidade resultantes, mas desde que seja o caso em que quanto mais complicado o diagrama, menos contribui para o resultado, é apenas uma questão de tempo e esforço para encontrar uma resposta tão precisa quanto se queira. à pergunta original. Essa é a abordagem básica do QED. Para calcular a probabilidade de qualquerprocesso interativo entre elétrons e fótons, é uma questão de primeiro notar, com os diagramas de Feynman, todas as maneiras possíveis pelas quais o processo pode ser construído a partir dos três elementos básicos. Cada diagrama envolve alguns cálculos envolvendo regras definidas para encontrar a amplitude de probabilidade associada.

Esse andaime básico permanece quando se passa para uma descrição quântica, mas são necessárias algumas mudanças conceituais. Uma é que, enquanto podemos esperar em nossa vida cotidiana que haveria algumas restrições nos pontos para os quais uma partícula pode se mover, isso não é verdade na eletrodinâmica quântica completa. Existe a possibilidade de um elétron em A , ou um fóton em B , movendo-se como uma ação básica para qualquer outro lugar e tempo no universo . Isso inclui lugares que só poderiam ser alcançados em velocidades maiores que a da luz e também em épocas anteriores . (Um elétron se movendo para trás no tempo pode ser visto como um pósitron avançando no tempo.) ^[1]^{: 89, 98-99}

Amplitudes de probabilidade [ edit ]

Feynman substitui números complexos por setas giratórias, que começam na emissão e terminam na detecção de uma partícula. A soma de todas as setas resultantes representa a probabilidade total do evento. Neste diagrama, a luz emitida pela fonte S rebate alguns segmentos de espelho (em azul) antes de atingir o detector a P . A soma de todos os caminhos deve ser levada em conta. O gráfico abaixo mostra o tempo total gasto para percorrer cada um dos caminhos acima.

A mecânica quântica introduz uma mudança importante no modo como as probabilidades são calculadas. As probabilidades ainda são representadas pelos números reais usuais que usamos para as probabilidades em nosso mundo cotidiano, mas as probabilidades são computadas como o quadrado das amplitudes de probabilidade , que são números complexos .

Feynman evita expor o leitor à matemática de números complexos usando uma representação simples mas precisa deles como setas em um pedaço de papel ou tela. (Estes não devem ser confundidos com as setas dos diagramas de Feynman, que são representações simplificadas em duas dimensões de uma relação entre pontos em três dimensões do espaço e uma de tempo.) As setas de amplitude são fundamentais para a descrição do mundo dada pelo quantum teoria. Eles estão relacionados às nossas idéias cotidianas de probabilidade pela regra simples de que a probabilidade de um evento é o quadrado do comprimento da seta de amplitude correspondente. Então, para um dado processo, se duas amplitudes de probabilidade, v e w , estão envolvidas, a probabilidade do processo será dada por

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} + \ mathbf {w} | ^ {2}}

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} \, \ mathbf {w} | ^ {2}.}

As regras no que diz respeito a adicionar ou multiplicar, no entanto, são as mesmas que acima. Mas onde você esperaria adicionar ou multiplicar probabilidades, em vez disso você adiciona ou multiplica as amplitudes de probabilidade que agora são números complexos.

Adição de amplitudes de probabilidade como números complexos

Multiplicação de amplitudes de probabilidade como números complexos

Adição e multiplicação são operações comuns na teoria de números complexos e são dadas nas figuras. A soma é encontrada da seguinte forma. Deixe o começo da segunda seta estar no fim do primeiro. A soma é então uma terceira seta que vai diretamente do começo do primeiro ao fim do segundo. O produto de duas setas é uma flecha cujo comprimento é o produto dos dois comprimentos. A direção do produto é encontrada adicionando-se os ângulos com os quais cada um dos dois foi girado em relação a uma direção de referência: isso fornece o ângulo em que o produto é girado em relação à direção de referência.

Essa mudança, de probabilidades a amplitudes de probabilidade, complica a matemática sem mudar a abordagem básica. Mas essa mudança ainda não é suficiente porque não leva em conta o fato de que tanto os fótons quanto os elétrons podem ser polarizados, o que equivale a dizer que suas orientações no espaço e no tempo devem ser levadas em conta. Portanto, P ( A a B ) consiste em 16 números complexos ou setas de amplitude de probabilidade. ^[1]^: 120–121 Há também algumas pequenas alterações relacionadas à quantidade j , que pode ter que ser alternada por um múltiplo de 90 ° para algumas polarizações, o que é de interesse apenas para a contabilidade detalhada.

Associado ao fato de que o elétron pode ser polarizado é outro pequeno detalhe necessário, que está ligado ao fato de que um elétron é um férmion e obedece à estatística de Fermi-Dirac . A regra básica é que se temos a amplitude de probabilidade para um dado processo complexo envolvendo mais de um elétron, então quando incluímos (como sempre devemos) o diagrama complementar de Feynman no qual trocamos dois eventos de elétrons, a amplitude resultante é o inverso - o negativo - do primeiro. O caso mais simples seria dois electrões a partir de A e B terminando em C e D . A amplitude seria calculada como a "diferença", E ( Apara D ) × E ( B para C ) - E ( A para C ) × E ( B para D ) , onde seria de esperar, da nossa ideia diária de probabilidades, que seria uma soma. ^[1]^: 112–113

Propagadores [ edit ]

Finalmente, é preciso calcular P ( A para B ) e E ( C para D ), correspondendo às amplitudes de probabilidade do fóton e do elétron, respectivamente. Estas são essencialmente as soluções da equação de Dirac , que descrevem o comportamento da amplitude de probabilidade do elétron e a equação de Klein-Gordon , que descreve o comportamento da amplitude de probabilidade do fóton. Estes são chamados de propagadores de Feynman . A tradução para uma notação comumente usada na literatura padrão é a seguinte:

{\ displaystyle P (A {\ text {a}} B) \ para D_ {F} (x_ {B} -x_ {A}), \ quad E (C {\ texto {a}} D) \ para S_ {F} (x_ {D} -x_ {C})}

onde um símbolo abreviado como

x_ {A}

significa os quatro números reais que dão o tempo e a posição em três dimensões do ponto marcadas Uma .

Renormalização em massa [ edit ]

Loop de auto-energia de elétrons

Um problema surgiu historicamente, que manteve o progresso por vinte anos: apesar de começarmos com a suposição de três ações "simples" básicas, as regras do jogo dizem que se quisermos calcular a amplitude de probabilidade de um elétron de A para B , devemos levar em consideração todas as formas possíveis: todos os diagramas possíveis de Feynman com esses pontos finais. Assim, haverá uma maneira em que o electrão desloca para C , emite um fotão lá e em seguida absorve-lo novamente no D antes de passar para B . Ou poderia fazer esse tipo de coisa duas vezes ou mais. Em suma, temos um fractal-como situação em que se olharmos atentamente para uma linha, que se divide em uma coleção de linhas "simples", cada um dos quais, se olhado de perto, são, por sua vez compostas de linhas "simples", e assim por diante ad infinitum . Esta é uma situação desafiadora para lidar. Se adicionar esse detalhe apenas alterou ligeiramente as coisas, então não teria sido tão ruim, mas ocorreu um desastre quando se descobriu que a correção simples mencionada acima levou a amplitudes infinitas de probabilidade. Com o tempo, esse problema foi "consertado" pela técnica da renormalização . No entanto, o próprio Feynman permaneceu descontente com isso, chamando-o de "processo dippy". ^[1]^: 128

Conclusões [ editar ]

Na estrutura acima, os físicos puderam então calcular com alto grau de precisão algumas das propriedades dos elétrons, como o momento dipolar magnético anômalo . No entanto, como Feynman aponta, ele não consegue explicar por que partículas como o elétron têm as massas que eles fazem. "Não há teoria que explique adequadamente esses números. Usamos os números em todas as nossas teorias, mas não os entendemos - o que são ou de onde vêm. Acredito que, do ponto de vista fundamental, isso é um problema muito interessante e sério ". ^[1]^: 152

Matemática [ edit ]

Matematicamente, QED é uma teoria de calibre abeliana com o grupo de simetria U (1) . O campo do medidor , que medeia a interação entre os campos de spin-1/2 carregados , é o campo eletromagnético . O Lagrangiano QED para um campo de spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético é dado em unidades naturais pela parte real de ^[22]^:⁷⁸

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -m) \ psi - {\ frac {1} {4}} F_ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu},}

Onde

\ gamma ^ {\ mu}

são matrizes de Dirac ;

\ psi

um campo bispinor de partículas spin-1/2 (por exemplo, campo elétron - pósitron );

{\ bar {\ psi}} \ equiv \ psi ^ {\ adaga} \ gamma ^ {0}

, chamado de "psi-bar", é às vezes chamado de adjunto de Dirac ;

D _ {\ mu} \ equiv \ partial _ {\ mu} + ieA _ {\ mu} + ieB _ {\ mu} \, \!

é o derivado covariante de calibre ;

e é a constante de acoplamento , igual à carga elétrica do campo bispinor;

m é a massa do elétron ou pósitron;

Um _ {\ mu}

é o potencial covariante de quatro potências do campo eletromagnético gerado pelo próprio elétron;

B _ {\ mu}

é o campo externo imposto por fonte externa;

F _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} \, \!

é o tensor do campo eletromagnético .

Equações de movimento [ edit ]

Substituindo a definição de D no Lagrangiano dá

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -e {\ bar {\ psi}} \ gamma _ { \ psi -m {\ bar {\ psi}} \ psi - {\ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}.}

A partir deste Lagrangiano, as equações de movimento para os campos ψ e A podem ser obtidas.

Usando o campo da teoria equação de Euler-Lagrange para ψ ,

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ {\ mu} \ psi)}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0.}

( 2 )

Os derivados do lagrangiano relativos a ψ são

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left (eu {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ right),}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = - e {\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} (A ^ {\ mu} + B ^ {\ mu}) - m {\ bar {\ psi}}.}

Inseri-los em ( 2 ) resulta em

{\ displaystyle} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} + e {\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} (A ^ {\ mu} + B ^ {\ mu}) + m {\ bar {\ psi}} = 0,}

com conjugado hermitiano

{\ displaystyle} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -e \ gamma _ {\ mu} (A ^ {\ mu} + B ^ {\ mu}) \ psi -m \ psi = 0.}

Trazer o termo do meio para o lado direito produz

{\ displaystyle} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -m \ psi = e \ gamma _ {\ mu} (A ^ {\ mu} + B ^ {\ mu}) \ psi .}

O lado esquerdo é como a equação original de Dirac , e o lado direito é a interação com o campo eletromagnético.

Usando a equação de Euler-Lagrange para o campo A ,

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} = 0,}

( 3 )

os derivados desta vez são

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ right) = \ partial _ {\ nu} \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right),}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} = - e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi.}

Substituir de volta em ( 3 ) leva a

{\ displaystyle \ partial} {\ nu \ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi.}

Agora, se impusermos a condição do medidor de Lorenz

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0,}

as equações reduzem a

{\ displaystyle \ Caixa A ^ {\ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi,}

que é uma equação de onda para o potencial de quatro, a versão QED das equações clássicas de Maxwell no medidor de Lorenz . (A praça representa o operador D'Alembert ,

{\ displaystyle \ Box = \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha}}

Imagem de interação [ editar ]

Essa teoria pode ser quantificada diretamente pelo tratamento de setores bosônicos e fermiônicos ^{[ esclarecimentos necessários ]} como livres. Isso nos permite construir um conjunto de estados assintóticos que podem ser usados para iniciar o cálculo das amplitudes de probabilidade para diferentes processos. Para fazer isso, temos que calcular um operador de evolução , que para um dado estado inicial

| i \ rangle

vai dar um estado final

\ langle f |

de tal forma a ter ^[22]^: 5

{\ displaystyle M_ {fi} = \ langle f | U | i \ rangle.}

Esta técnica também é conhecida como a S-matriz . O operador de evolução é obtido no quadro de interação , onde a evolução temporal é dada pela interação Hamiltoniana, que é a integral sobre o espaço do segundo termo na densidade Lagrangiana dada acima: ^[22]^: 123

{\ displaystyle V = e \ int d ^ {3} x \ {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi A _ {\ mu},}

e assim, um tem ^[22]^: 86

{\ displaystyle U = T \ exp \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '\, V (t') \ right],}

onde T é o operador de pedidos de tempo . Este operador de evolução só tem significado como uma série, e o que temos aqui é uma série de perturbações com a constante de estrutura fina como o parâmetro de desenvolvimento. Esta série é chamada de série Dyson .

Diagramas de Feynman [ editar ]

Apesar da clareza conceitual desta abordagem de Feynman à QED, quase nenhum livro de texto antigo o segue em sua apresentação. Ao realizar cálculos, é muito mais fácil trabalhar com as transformadas de Fourier dos propagadores . Testes experimentais de eletrodinâmica quântica são tipicamente experimentos de espalhamento. Na teoria de espalhamento, partículas momenta e não suas posições são consideradas, e é conveniente pensar em partículas como sendo criadas ou aniquiladas quando interagem. Diagramas de Feynman, em seguida, olharo mesmo, mas as linhas têm interpretações diferentes. A linha de elétrons representa um elétron com uma determinada energia e momento, com uma interpretação similar da linha de fótons. Um diagrama de vértices representa a aniquilação de um elétron e a criação de outro junto com a absorção ou criação de um fóton, cada um especificando energias e momentos.

Usando o teorema Wick nos termos da série Dyson, todos os termos da matriz S para a eletrodinâmica quântica podem ser calculados através da técnica dos diagramas de Feynman . Nesse caso, as regras para desenho são as seguintes ^[22]^: 801–802

Para essas regras, devemos adicionar mais uma para loops fechados, o que implica uma integração no momento

\ int d ^ {4} p / (2 \ pi) ^ {4}

, uma vez que estas partículas internas ("virtuais") não são limitadas a qualquer momento específico de energia, mesmo que normalmente requerido pela relatividade especial (veja Propagator para detalhes).

Deles, os cálculos das amplitudes de probabilidade são dados diretamente. Um exemplo é o espalhamento de Compton , com um elétron e um fóton passando por espalhamento elástico . Os diagramas de Feynman estão neste caso ^[22]^: 158–159

e assim somos capazes de obter a amplitude correspondente na primeira ordem de uma série de perturbações para a matriz S :

{\ displaystyle M_ {fi} = (isto é) ^ {2} {\ overline {u}} ({\ vec {p}} ', s') \ epsilon \! \! \! / \, '({\ vec {k}} ', \ lambda') ^ {*} {\ frac {p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e}} {(p + k) ^ { 2} -m_ {e} ^ {2}}} \ epsilon \! \! \! / ({\ Vec {k}}, \ lambda) u ({\ vec {p}}, s) + (ie) ^ {2} {\ overline {u}} ({\ vec {p}} ', s') \ epsilon \! \! \! / ({\ Vec {k}}, \ lambda) {\ frac {p \! \! \! / - k \! \! \! / '+ m_ {e}} {(p-k') ^ {2} -m_ {e} ^ {2}}} \ epsilon \! \ ! \! / \, '({\ vec {k}}', \ lambda ') ^ {*} u ({\ vec {p}}, s),}

a partir do qual podemos calcular a seção transversal para este espalhamento.

Renormalização [ edit ]

Termos de ordem mais alta podem ser calculados diretamente para o operador de evolução, mas esses termos exibem diagramas contendo os seguintes mais simples ^[22]^{: ch 10}

Contribuição de um loop para a função de polarização de vácuo $\ Pi$
Contribuição de um ciclo para a função de auto-energia de elétrons $\ Sigma$
Contribuição de um loop para a função de vértice $\Gama$

que, sendo laços fechados, implicam a presença de integrais divergentes sem significado matemático. Para superar essa dificuldade, uma técnica chamada renormalizaçãofoi concebido, produzindo resultados finitos em concordância muito próxima com experimentos. É importante notar que um critério para a teoria ser significativa após a renormalização é que o número de diagramas divergentes é finito. Neste caso, a teoria é considerada "renormalizável". A razão para isto é que para obter observáveis renormalizados, é necessário um número finito de constantes para manter intacto o valor preditivo da teoria. Este é exatamente o caso da eletrodinâmica quântica mostrando apenas três diagramas divergentes. Este procedimento fornece observáveis em concordância muito próxima com o experimento como visto, por exemplo, para a relação giromagnética de elétrons .

A renormalização tornou-se um critério essencial para que uma teoria quântica de campos seja considerada viável. Todas as teorias que descrevem interações fundamentais , exceto a gravitação , cuja contrapartida quântica está atualmente sob pesquisa muito ativa, são teorias renormalizáveis.

Nonconvergence of series [ editar ]

Um argumento de Freeman Dyson mostra que o raio de convergência da série de perturbações em QED é zero. ^[23] O argumento básico é o seguinte: se a constante de acoplamento fosse negativa, isto seria equivalente à constante de força de Coulomb sendo negativa. Isso "inverteria" a interação eletromagnética de modo que cargas semelhantes atrairiam e, ao contrário das cargas, repeliriam. Isso tornaria o vácuo instável contra a decadência em um aglomerado de elétrons de um lado do universo e um aglomerado de pósitrons do outro lado do universo. Como a teoria é "doente" para qualquer valor negativo da constante de acoplamento, a série não converge, mas é, na melhor das hipóteses, uma série assintótica .

De uma perspectiva moderna, dizemos que a QED não é bem definida como uma teoria quântica de campos para uma energia arbitrariamente alta. ^[24] A constante de acoplamento corre até o infinito em energia finita, sinalizando um pólo de Landau . O problema é essencialmente que o QED parece sofrer de problemas de trivialidade quântica . Esta é uma das motivações para incorporar o QED dentro de uma Grande Teoria Unificada .

A equação de Gibbs

dG=-SdT+VdP+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,;

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

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quarta-feira, 23 de janeiro de 2019

Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

A mecânica estatística fornece um quadro que relaciona as propriedades microscópicas de átomos e moléculas com as propriedades macroscópicas ou extensivas de materiais que podem ser observados na vida cotidiana. Portanto, ela explica a termodinâmica como um resultado natural da estatística, mecânica clássica e mecânica quântica ao nível microscópico. Por causa desta história, a física estatística é muitas vezes considerada como sinônimo de mecânica estatística ou termodinâmica estatística.

Uma das equações mais importantes da mecânica estatística (análogo à F = ma em mecânica, ou a equação de Schrödinger na mecânica quântica) é a definição da função de partição Z, que é essencialmente uma soma ponderada de todos os possíveis estados q disponíveis para um sistema .

Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}

onde

k_{B}

é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e E(q) é a energia do estado q. Além disso, a probabilidade de um determinado estado q ocorrer é dada por

P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}

Aqui, vemos que os estados de energia muito alta têm pouca probabilidade de ocorrência, um resultado que é consistente com a intuição.

A abordagem estatística pode funcionar bem em sistemas clássicos quando o número de graus de liberdade (e assim o número de variáveis) é tão grande que a solução exata não é possível, ou não é realmente útil. A mecânica estatística também pode descrever o trabalho na dinâmica não-linear, teoria do caos, física térmica, dinâmica dos fluidos(particularmente nos números de Knudsen elevados) e física de plasmas.

Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente por meio de aproximações e expansões, as pesquisas mais atuais utilizam o poder de processamento de computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para produzir uma ideia da dinâmica de um sistema complexo.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Matriz categorial de Graceli.

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quinta-feira, 17 de janeiro de 2019

t_{a}=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

\epsilon =\Delta t={\tfrac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}\,.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ldots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}L(x(t),v(t),t)\,\mathrm {d} t\right)dx_{0}\,\ldots \,dx_{n}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\epsilon \,\,\sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\epsilon }},j\right)\right)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

s=\int {\frac {dt}{r(t)}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\,

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K\,

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

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Ta l Rl

\psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

\psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

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Ta l Rl

[\phi (x),\partial _{t}\phi (y)]={\rm {i}}\delta ^{3}(x-y)\,

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

G_{B}(p,E)={-i \over -E-{i{\vec {p}}^{2} \over 2m}+i\epsilon }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }d\mathrm {T} ={1 \over p^{2}+\alpha }\,

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

2mK_{\mathrm {NR} }(p)={i \over (p_{0}-m)-{{\vec {p}}^{2} \over 2m}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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\Gamma =A_{o}\exp(-S_{eff}/\hbar )

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

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Interpretação de Feynman[editar | editar código-fonte]

O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman^[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente.

Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propẽ a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:

A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
A contribuição de um caminho em particular é proporcional à $e^{iS/\hbar }$ , onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho.

Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).

Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.

A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.

Formulação concreta[editar | editar código-fonte]

Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:

Definição da fração temporal (time-slicing)[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição x_ano tempo t_a e chega em x_b no tempo t_b, a seqüência de tempo:

t_{a}=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}

é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (t_j − t_{j − 1)}, onde j = 1,...,n + 1, onde

\epsilon =\Delta t={\tfrac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}\,.

é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).

Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ldots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}L(x(t),v(t),t)\,\mathrm {d} t\right)dx_{0}\,\ldots \,dx_{n}

onde é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dx_j corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.^{[note 1]}

No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica em t₀ no seu estado inicial x_a e em t_b no estado final x_b.

Na verdade, é a Lagrangiana clássica do sitema unidimensional considerado, que obedece a relação:

L(x,{\dot {x}},t)=p\cdot {\dot {x}}-H(x,p,t)\,,

onde é o Hamiltoniano, e:

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}

,e, acima mencionado, "ziguezague" corresponde ao aparecimento dos termos:

\exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\epsilon \,\,\sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\epsilon }},j\right)\right)

Na aproximação da soma Riemaniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x₁ a x_n com a integração medida dx₁...dx_n, x_j é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (x_j + xj-1)/2.

Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.

O diagrama mostra a contribuição para integral de caminho de uma partícula livre para um conjunto de caminhos.

A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e²/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de

s=\int {\frac {dt}{r(t)}}

a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.^[5]^[6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.

Partícula livre[editar | editar código-fonte]

A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícual livre, a ação (por simplicidade onsiderando m = 1, ħ = 1):

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\,

a integral pode ser avaliada de forma explícita.

Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando contribuições oscilatórias.

K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left\{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\right\}Dx\,

Dividindo a integral em frações de tempo:

K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\Pi _{t}\exp \left\{-{1 \over 2}\left({x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\right)^{2}\epsilon \right\}Dx\,

onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana G_ε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.

K(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }...*G_{\epsilon }\,

Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }\,

A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:

{\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {p^{2}/2}}\,

e o resultado é:

{\tilde {K}}(p;T)=e^{-T{p^{2}/2}}\,

A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:

K(x-y;T)\propto e^{-{(x-y)^{2}/(2T)}}\,

A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.

O resultado tem uma interpretaçã probabilistica. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.

A interpretação probabilística lea a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que:

\int K(x-y;T)dy=1\,

Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K\,

Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo . Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:

K(x-y;T)\propto e^{i(x-y)^{2}/(2T)}\,

Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K\,

Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx\,

ψ_t obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:

{\rm {i}}{\partial  \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}\,

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\;.

x(t)=x_{c}(t)+\delta x(t)

, a ação torna-se

S=S_{c}+\delta S

. A trajetória clássica pode ser escrito como:

x_{c}(t)=x_{i}{\frac {\sin {\omega (t_{f}-t)}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}+x_{f}{\frac {\sin {\omega (t-t_{i})}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\;.

Esta trajetória obedece à ação clássica:

S_{c}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\;\mathrm {d} t=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\omega \left[{\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega (t_{f}-t_{i})}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\right]

Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em

\delta S

, como em uma série de Fourier, que resulta em:

S=S_{c}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right]

o que significa que o propagador é:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int \;\mathrm {d} a_{j}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right]}=e^{iS_{c}/\hbar }Q\prod _{j=1}^{\infty }\left[1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right]^{-1/2}

para alguns de normalização:

Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}

Usando a representação por produtória da função seno

\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin {\pi x}}{\pi x}}

, o propagador pode ser escrita como

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}=e^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}

Seja:

T=t_{f}-t_{i}

. Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega T}}}\right)^{1/2}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega T}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega T}}}\right]}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})^{*}\psi _{n}(x_{i})\;.

usando as identidades

i\sin {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)

and

\cos {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1+e^{-2i\omega T}\right)

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-1/2}\exp {\left[-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left\{(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right\}\right]}

Podemos absorver todos os termos após

e^{-i\omega T/2}

R(T)

,resultando em:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\cdot R(T)\;.

Expandindo

R(T)

à potencias de

e^{-i\omega T}

. Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator

e^{-i\omega T/2}

que resultam em termos da forma

e^{-i\omega T/2}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T({\frac {1}{2}}+n)}

com

n=0,1,2,\ldots

. Comparing that to the eigenstate expansion, we get the energy spectrum for simple harmonic oscillator,

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \;.

A equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

\psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)

Uma vez que a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\epsilon }\,

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a ivezes um processo de difusão. Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

\psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,

que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento[editar | editar código-fonte]

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{{\rm {i}}S(x,{\dot {x}})}Dx\,

Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{{\rm {i}}S(u+\epsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\epsilon }})}Du\,

A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\partial S \over \partial u}\epsilon +{\partial S \over \partial {\dot {u}}}{\dot {\epsilon }}dt\right)e^{iS}Du\,

que, integrando por partes em t, obtém-se:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({d \over dt}{\partial S \over \partial {\dot {u}}}-{\partial S \over \partial u}\right)\epsilon (t)dt\right)e^{iS}Du\,

Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

\langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.

Aproximação de fase estacionária[editar | editar código-fonte]

Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a quação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.

Relações de comutação canônicas[editar | editar código-fonte]

A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.^[7]

Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:

S=\int \left({dx \over dt}\right)^{2}dt\,

A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.

{dx \over dt}={x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\,

Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:

x(t+\epsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\epsilon }}\,

Isso mostra que o movimentovnão é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.

A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:

[1]=x{dx \over dt}=x(t){(x(t+\epsilon )-x(t)) \over \epsilon }\,

Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:

[2]-[1]={(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }\approx {\epsilon  \over \epsilon }\,

definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:

{(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }=f(t)\,

e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística

{\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,

Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a

{\mathcal {L}}

Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:

[x,{\dot {x}}]=x{dx \over dt}-{dx \over dt}x=1\,

que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.

Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que

\left[x,{\partial S \over \partial {\dot {x}}}\right]=1\,

e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:

[x,p]={\rm {i}}\,

Partícula no espaço curvo[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula no espaço curvo o termo cinética depende da posição, e a fração temporal superior não pode ser aplicada, sendo isto uma manifestação do problema do operador pedido. Pode-se, no entanto, resolver este problema transformando a integral de caminho em um espaço curvo, usando uma transformação de coordenadas múltiplas.( mapeamento não holonômico explicado aqui).

A integral de caminho e a função de partição[editar | editar código-fonte]

A integral de caminho é apenas a generalização da integral a seguir para todos problemas da mecânica quântica -

Z=\int e^{{\rm {i}}{\mathcal {S}}[x]/\hbar }Dx\,

onde

{\mathcal {S}}[x]=\int _{0}^{T}L[x(t)]\mathrm {d} t

é a ação do problema clássico investigado cujo caminho inicia-se em t=0 e termina em t = T, sendo Dx a notação para integração de todos os caminhos. No limite clássico,

{\mathcal {S}}[x]\gg \hbar

, o caminho da mínima ação domina o integral, porque a fase de qualquer outro caminho oscila rapidamente e as diferentes contribuições se cancelam.^[8]

Conexão com a mecânica estatística é a seguinte: Considerando apenas os caminhos que começam e terminam na mesma configuração, execute-se a rotação de Wick

it=\tau

, isto é, fazendo o tempo imaginário, e integra-se sobre todos os possíveis iconfigurações iniciais/finais.A integral de caminho torna-se semelhante a função de partição da mecânica estatística definida em um ensemble canônico com o inverso da temperatura proporcional ao tempo imaginário,

1/T=k_{\mathrm {B} }\tau /\hbar

. S Rigorosamente falando, esta é a função de partição para uma teoria de campos estatistica .

Claramente, uma analogia profunda entre a mecânica quântica e mecânica estatística não pode depender desta formulação. Na formulação canônica, vê-se que a evolução do operador unitário de um estado é dada por

|\alpha ;t\rangle =e^{-{\rm {i}}Ht/\hbar }|\alpha ;0\rangle

onde o estado α evoluiu a partir do tempo t = 0. Se uma rotação de Wick é realizada, e encontra-se a amplitude de movimento a partir de qualquer estado, de volta para o mesmo estado (imaginária) do tempo que é dado por

Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]

que é, precisamente, a função de partição para o mesmo sistema na temperatura citada anteriormente. Um aspecto desta equivalência também era conhecido por Schrödinger,comentando que a equação a se parecia com a equação de difusão, depois de feito a rotação de Wick.

Medida de fatores teóricos[editar | editar código-fonte]

Por vezes (por exemplo, uma partícula movendo-se no espaço curvo) temos medidas de fatores teóricos na integral funcional.

\int \mu [x]e^{iS[x]}{\mathcal {D}}x

Este fator é necessária para restaurar o unitaridade.

Por exemplo, tomando:

S=\int \left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]dt

então isso significa que cada fatia espacial é multiplicado pela medida √g. Esta medida não pode ser expressa como um funcional da multiplicação da medida de porque eles pertencem a diferentes classes.

Teoria quântica de campos[editar | editar código-fonte]

A formulação da integral de caminho foi muito importante para o desenvolvimento da teoria do campo quântico. Tanto Schrödinger quanto Heisenberg usaram abordagens para a mecânica quântica independentes do tempo, fora do âmbito da relatividade. Por exemplo, a abordagem de Heisenberg requer que os operadores de campo escalar obedecam a relação de comutação:

[\phi (x),\partial _{t}\phi (y)]={\rm {i}}\delta ^{3}(x-y)\,

para x e y duas posiões espaciais simultâneas, não é um conceito de invariante relativístico. Os resultados de um cálculo são covariantes, mas a simetria não é evidente em estágios intermediários. Se os cálculos da teoria de campo cálculos não produzem respostas infinitas nolimite contínuo, isso não teria sido um grande problema – poderia ser apenas uma má escolha de coordenadas. Mas a falta de simetria significa que as quantidades infinitas devem ser eliminadas, pois as coordenadas tornam quase impossível finalizar a teoria sem prejudicar a simetria. Isso torna difícil para extrair previsões físicas, exigindo um cuidadoso procedimento limite.

O problema de perda de simetria também aparece na mecânica clássica, onde a formulação Hamiltoniana também destaca o tempo superficialmente. A formulação Lagrangiana torna a invariância relativista aparente. A integral de caminho também é manifestamente relativista, e reproduz a equação de Schrödinger, as equações de movimento de Heisenberg, e as relações de comutação canônica mostrando que são compatíveis com a relatividade. estende o tipos de operadores algébricos de Heisenberg em regras do produto de operadores que são novas relações difíceis ver no formalismo antigo.

Além disso, diferentes escolhas de variáveis canônicas levam a formulações muito diferentes da mesma teoria. As transformações entre as variáveis podem ser muito complicadas, mas a integral de caminho faz destas transformações algo mais razoável, como uma mudança simples nas variáveis de integração. Por estas razões, a integral de caminho de Feynman tornou os formalismos anteriores em grande parte obsoleto.

O preço de da representação da integral de caminho é que o unitaridade da teoria não é auto-evidente, mas pode ser comprovado mudando as variáveis para uma representação canônica. A Integral de caminho em si também lida com espaços matemáticos maiores que o habitual, exigindo mais cuidado matemático dos quais não foi devidamente esclarecida. Historicamente a integral de caminho não foi imediatamente aceita, em parte porque ele levou muitos anos para incorporar fermions corretamente. Isto acabou por levar os físicos a inventar um novo objeto matemático – chamade de variável de Grassmann – que também permite a mudança de variáveis de forma natural, assim como a quantização restrita.

A integração de variáveis na integral de caminho sutilmente . O valor do produto de dois operadores de campo, no que parece ser o mesmo ponto depende de como os dois pontos são ordenados no tempo e no espaço, resultando em algumas identidades falhas (anomalia quântica).

O propagador[editar | editar código-fonte]

Em teorias relativistas, há tanto a representação por partícula quanto por campo. A representação po campo é uma soma sobre todas as configurações de campos, e a representação por partícula é uma soma através de diferentes caminhos das partículas.

A formulação não-relativística é tradicionalmente dada em termos de caminhos de partículas, e não de campos.Neste caso, a integral de caminho nasnas variáveis habituais, com condições de contorno fixas, dão a amplitude de probabilidade para uma partícula para ir do ponto x ao ponto y no tempo T.

K(x,y;T)=\langle y;T|x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}Dx\,

TK(x,y;T) é chamado de propagador. Sobrepondo valores diferentes da posição inicial x com um estado inicial arbitrário

\psi _{0}(x)

constrói-se o estado final:

\psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}Dx\,

Para um sistema espacialmente homogêneo, onde K(x, y) é apenas uma função de (x − y), a integral é uma convolução, o estado final é o estado inicial convoluido pelo propagador.

\psi _{T}=\psi _{0}*K(;T)\,

Para um livre de partícula de massa m, o propagador pode ser avaliada de forma explícita a partir da integral de caminho ou notando que a equação de Schrödinger é uma equação de difusão com tempo imaginário e a solução deve ser um Gaussiana normalizada:

K(x,y;T)\propto e^{im(x-y)^{2} \over 2T}

Tomando a transformada de Fourier em (x − y) produzindo outra Gaussiana:

K(p;T)=e^{iTp^{2} \over 2m}

no espaço dos momentos p, o fator de proporcionalidade é constante no tempo, como será verificado a seguir. A transformada de Fourier temporal e tomando a extenção de K(p; T) com zero para vslores negativos de tempo, resulta na função de Green, ou se a frequência espacial do propagador:

G_{F}(p,E)={-i \over E-{{\vec {p}}^{2} \over 2m}+i\epsilon }

Que é o recíproco do operador que aniquila a função de onda na equação de Schrödinger, que não devia surgir corretamante, se o fator de proporcionalidade não fosse constante no espaço de representação de momentos p.

O termo infinitesimal no denominador é um número positivo pequeno, que garante que a inversa da transformada de Fourier em E será diferente de zero apenas para tempos futuros. Para tempos passados, a transformada de Fourier inversa faz um contorno fechado para os valores de E onde não há singularidade. Isso garante que K propaga a partícula para o futuro (por isso o sub-escrito 'F' em G). O termo infinitesimal pode ser interpretado como uma rotação infinitesimal na direção de tempo imaginário.

Também é possível reescrever a evolução temporal não-relativistico em termos de propagadores que vão em direção ao passado, uma vez que a equação de Schrödinger é reversível no tempo. O propagador para o passado é o mesmo para o futuro, exceto para a diferença óbvia de que o propagador do passado desaparece no futuro, sendo que na gaussiana t é substituído por (−t). Neste caso, a interpretação é que estas são as quantidades a convoluir a função de onda final de modo a obter a função de onda inicial.

G_{B}(p,E)={-i \over -E-{i{\vec {p}}^{2} \over 2m}+i\epsilon }

As duas últimas equações são quase idênticas, com uma única diferença de sinal em E. O parâmetro E na função de Green pode ser a energia se os caminhos estão indo em direção ao futuro, ou o negativo da energia se os caminhos estão indo para o passado.

Para uma teoria não-relativistica, o tempo medido ao longo do caminho do movimento da partícula e o tempo medido por um observador externo são os mesmos. Na relatividade, isso não é mais verdade. Para uma teoria relativista o propagador deve ser definido como a soma sobre todos os caminhos de viagem entre dois pontos fixos de tempo próprio, como medida ao longo do caminho. Esses caminhos descrever a trajetória de uma partícula no espaço e no tempo.

K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha d\tau }\,

A integral acima não é trivial para interpretar, porque da raiz quadrada. Felizmente, há um truque heurística. A soma é sobre arcos de comprimento relativisticos do caminho de uma quantidade oscilatória, e a integral de caminho não-relativístico deve ser interpretado como girado levemente no tempo imaginário. A função

K(x-y,\tau )

pode ser avaliada quando a soma é sobre os caminhos no espaço Euclidiano:

K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}\,

K descreve uma soma sobre todos os caminhos de comprimento

\Tau

da exponencial de menos o comprimento. Este pode ser dado interpretação de probabilidade. A soma sobre todos os caminhos é uma média de probabilidade sobre um caminho construído passo a passo. O número total de passos é proporcional à

\Tau

\Tau

K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-(x-y)^{2} \over \mathrm {T} }\,

A definição usual do propagador relativistico pede apenas a amplitude para viajar a partir de x para y, depois de somar sobre todos os tempos próprio possíveis:

K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )d\mathrm {T} \,

W(\mathrm {T} )

ié um fator de peso, a importância relativa dos caminhos, para tempo próprio diferentes. A simetria de translação no tempo próprio, este peso pode ser apenas um fator exponencial, e pode ser absorvida por uma constante α.

K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{(x-y)^{2} \over \mathrm {T} }-\alpha \mathrm {T} }d\mathrm {T} \,

que é a representação de Schwinger. A transformada de Fourier sobre a variável (x − y) pode ser feito para cada valor de

\Tau

separadamente. Cada

\Tau

cseparadamente é uma contribuição Gaussiana, cuja transformada de Fourier é outra Gaussiana com largura recíproca. Assim, no espaço de configuraçẽos p, o propagador pode ser reexpressado simplesmente por:

K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }d\mathrm {T} ={1 \over p^{2}+\alpha }\,

que é o propagador Euclidiano para uma partícula escalar. A rotação de p₀ feita de tal forma a ser imaginário resulta em um propagador relativístico com um fator de (−i). Esta ambiguidade será esclarecida a seguir.

K(p)={i \over p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}\,

Esta expressão pode ser interpretadado no limite não relativístico, onde é conveniente dividi-lo por frações parciais:

2p_{0}K(p)={i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}+{i \over p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}

Para os estados onde partículas não-relativísticas estam presentes, a função de onda inicial tem uma distribuição de freqüência que se concentram perto p₀ = m. Quando convoluida com o propagador, ( que, espaço p significa multiplicar pelo propagador), o segundo termo é suprimida e o primeiro termo é reforçada. Para freqüências próximas a p₀ = m, o primeiro termo dominante tem a forma:

2mK_{\mathrm {NR} }(p)={i \over (p_{0}-m)-{{\vec {p}}^{2} \over 2m}}

Esta é a expressão para a Função de Green da partícula livre de Schrödinger.

O segundo termo tem também um limite não relativísitco, mas esse limite é concentrada nas frequências que são negativos. O segundo pólo é dominada por contribuições de caminhos onde o tempo próprio e a coordenada temporal passam em sentidos opostos, o que significa que o segundo termo está para ser interpretado como a antipartícula.A análise não-relativísitca mostra que com esse forma a antipartícula ainda tem energia positiva.

A maneira correta de expressar isto matematicamente, é que, a adição de uma pequena supressão no tempo próprio, o limite em que t → −∞ do primeiro termo deve desaparecer, enquanto que o limite t → +∞ do segundo termo deve desaparecer. Na transformada de Fourier, isto significa deslocar o pólo p₀ ligeiramente, de modo que a inversa da transformada de Fourier, ganha um pequeno fator de decaimento em uma das direções:

K(p)={i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\epsilon }+{i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\epsilon }

Sem estes termos, a contribuição de pólo não pode ser inequivocamente avaliada quando se toma a inversa da transformada de Fourier de p₀. Os termos podem ser recombinados:

K(p)={i \over {p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}

Quando fatorado, produz termos infinitesimais de sinais opostos para cada fator. Esta é a forma matemática precisa do propagador de uma partícula relativista, livre de ambiguidades. O termo ε apresenta uma pequena parte imaginária para α = m², que na versão de Minkowski é uma pequena supressão da exponencial de caminhos longos.

Assim, no caso relativístico, a representação do propagador em integrais de caminho de Feynman inclui caminhos que vão para trás no tempo, descrevendo antipartículas. Os caminhos que contribuem para o propagador relativistico avançam e retrocedem no tempo, e a interpretação é que a amplitude de uma partícula livre para viajar entre dois pontos inclui amplitudes para as partícula de forma que a flutuação permite o surgimento de uma antipartícula, viajando de volta no tempo, e em seguida, avançar no tempo novamente.

Ao contrário do caso não-relativísitco, é impossível produzir uma teoria relativista de um propagador de partícula local sem a inclusão de antipartículas. Todos os operadores direfenciais locais têm inversas que são diferentes de zero fora do cone de luz, o que significa que é impossível manter uma partícula de viajar mais rápido que a velocidade luz. Tal partícula não pode ter uma função de Green que só é diferente de zero no futuro, em uma teoria relativística invariante.

Funcionais dos campos[editar | editar código-fonte]

No entanto, o caminho integral formulação também é extremamente importante, em aplicação direta para a teoria do quântico de campos, onde os "caminhos" ou histórias a ser considerada não são os movimentos de uma única partícula, mas as possíveis evoluções temporais de um campo sobre todo o espaço. A ação é conhecida tecnicamente como um funcional de domínio: S[ϕ] onde o campo ϕ(x,^μ) é uma função do espaço e do tempo, e os colchetes indicam que a ação depende de todos os valores nos campos em todos os lugares, não apenas a um determinado valor. Em princípio, é possível integrar a amplitude de Feynman sobre todas as classes de todas as combinações de valores possíveis que o campo pode ter em assumir em qualquer lugar no espaço–tempo.

Muitos dos estudos formais da QFT são dedicados às propriedades das integrais funcionais resultantes, e muito esforço (ainda não foi inteiramente bem-sucedida) tem sido feito no sentido de tornar estas funcionais, integrais precisas matematicamente.

Tal funcional integral é extremamente semelhante à função de partição em mecânica estatística. De fato, às vezes é chamada uma função de partição, e os dois são, essencialmente, idênticas matematicamente , exceto para o fator de 'i' no expoente do postulado 3 de Feynman. Extensão analítica da integral para tempos imaginários (chamado de um rotação de Wick) torna a integral funcional ainda mais parecida com a função de partição, e também facilita algumas das dificuldades matemáticas em trabalhar com essas integrais.

Valores esperados[editar | editar código-fonte]

Na teoria quântica de campos, se a ação é dado pelo funcional

{\mathcal {S}}

\left\langle F\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}}

O símbolo

\int {\mathcal {D}}\phi

Probabilidade[editar | editar código-fonte]

Rigorosamente falando, a única questão que pode ser feita em termos físicos é: "Qual é a fração dos estados satisfazendo a condição A que também satisfazer a condição B?" A resposta, que é um número entre 0 e 1,pode ser interpretado como uma probabilidade ,é escrito como P(B|A). Em termos de integração de caminho, uma vez que

P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}

P(B|A)={\frac {\displaystyle \sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}{\displaystyle \sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}}

onde o funcional Oin[ϕ] é uma superposição de todas as estados de entrada, que podem levar a estados em que estamos interessados. Em particular, este pode ser um estado correspondente ao estado do Universo logo após o big bang, apesar que para presente cálculo é simplificação de métodos heurísticos. Note que o quociente na expressão garante naturalmente uma normalização.

Equações de Schwinger–Dyson[editar | editar código-fonte]

Uma vez que esta formulação da mecânica quântica é análogo aos princípios da ação clássica, pode-se esperar que as identidades acerca da atuação na mecânica clássica teria uma contraparte quântica derivados a partir de uma integral funcional. Este é frequentemente o caso.

Na linguagem da análise funcional, podemos escrever as equações de Euler–Lagrange como:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}=0

(do lado esquerdo é uma derivada funcional; a equação significa que a ação é estacionária em pequenas alterações na configuração do campo). O análogo quântico destas equações são chamados de equações de Schwinger–Dyson.

Se a medida funcional

{\mathcal {D}}\phi

produz resultado invariante por translação (vamos assumir isso para o resto deste artigo que, apesar de não ser garantia para o modelo sigma não linear) e se, supondo que, após uma rotação de Wick

e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]},

que agora torna-se

e^{-H[\phi ]}\,

para algum H, vai a zero mais rapidamente do que a reciproca de qualquer polinômio para grandes valores de φ, podemos integrar por partes (depois de uma rotação de Wick, seguido rotação de Wick de volta) para obter a seguinte equação de Schwinger–Dyson para o valor esperado:

\left\langle {\frac {\delta F[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\phi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle

para qualquer funcional F polinominalmente delimitada.

\left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle

na notação de deWitt.

Estas equações são o análogos das equações sobre a cascas EL (on shell EL equations). A ordenação de tempo é tomado antes da derivada temporal dentro do

{\mathcal {S}}_{,i}

Se J (chamado de fonte de campo) é um elemento do espaço dual do campo de configurações (que tem pelo menos uma estrutura afim por causa da suposição da invariância de translação para a medida funcional), então, o funcional gerador Z das fontes de campos é definido por:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}.

Note que

{\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,{\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }_{J}

Z^{,i_{1}\dots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]{\left\langle \phi ^{i_{1}}\cdots \phi ^{i_{n}}\right\rangle }_{J}

onde

{\left\langle F\right\rangle }_{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}}.

Basicamente, se

{\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle

são os seus momentos e Z é a sua transformada de Fourier.

Se F é um funcional de φ, então, para um operador K, F[K] é definido como o operador que substitui K por φ. Por exemplo, se

F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})

G sendo o funcional de J, tem-se então

F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].

Daí, a partir das propriedades de integrais funcionais

{\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[\phi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0

obtendo a "equação mestre" de Schwinger–Dyson:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0

{\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.

Se a medida funcional não é invariante por translação, talvez seja possível expressá-la como o produto

M\left[\phi \right]\,{\mathcal {D}}\phi

onde M é um funcional e

{\mathcal {D}}\phi

é uma medida invariante por translação. Este é o caso, por exemplo, para modelos sigma não-lineares onde o espaço de destino é difeomorfico a Rⁿ. No entanto, se o alvo é algum espaço topologicamente não trivial o conceito de uma translação não faz qualquer sentido.

Nesse caso, teríamos que substituir a

{\mathcal {S}}

inesta equação por outro funcional

{\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln(M)

Se expandirmos esta equação como uma série de Taylor em torno de J = 0, podemos obter todo o conjunto das equações de Schwinger–Dyson.

Localização[editar | editar código-fonte]

As integrais de caminho são geralmente pensada como sendo a soma de todos os caminhos através de uma infinidade espaço de tempo. No entanto, na teoria quântica de campos local seria restringir tudo para permanecer dentro de um região de causalidade completa finita, por exemplo, dentro de um cone de luz duplo. Isso resulta em uma definição da teoria quântica mais precisa matematicamente e mais rigorosa fisicamente.

Identidades de Ward–Takahashi [editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal Ward–Takahashi identidade.

O que se sabe sobre o teorema de Noether para o clássico caso? Ele tem um análogo quântico ? Sim, mas com uma ressalva. A medida funcional teria de ser invariantes sobre um parâmetro do grupo da transformação de simetria.

Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)

para alguma função f, onde f depende somente localmente em φ (e, possivelmente, o espaço-tempo da posição).

Se não assumimos qualquer condições de contorno especiais, isso não seria uma "verdadeira" simetria, no sentido verdadeiro do termo, em geral, ao menos que f=0, ou algo semelhante. Aqui, Q é uma derivação , o que gera um grupo de parâmetro em questão. Poderíamos ter antiderivação, bem como BRST e supersimetria.

Além disso, assuma que

\int {\mathcal {D}}\phi Q[F][\phi ]=0

Em seguida,

\int {\mathcal {D}}\phi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\phi ]=0,

o que implica

\left\langle Q[F]\right\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }ds_{\mu }\right\rangle =0

onde a integral é sobre o contorno. Este é o análogo quântico doteorema de Noether.

Agora, vamos supor ainda mais Q é uma integral local

Q=\int d^{d}xq(x)

onde

q(x)[\phi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\phi (y)]\,

tal que

q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,

onde

j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\phi ]\,

(partindo do princípio que a Lagrangiana só depende de φ e suas primeiras derivadas parciais! Mais geral Lagrangianas exigiria uma modificação para esta definição!). Note que NÃO estamos insistindo que q(x) é o gerador de simetria (isto é, nós não estamos insistindo em princípios de calibre ), mas apenas naquilo que Q é. Assumimos ainda que a mais forte suposição de que a medida funcional é localmente invariante:

\int {\mathcal {D}}\phi \,q(x)[F][\phi ]=0.

Então, teríamos

\left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle Fq(x)[S]\right\rangle =\left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.

Alternativamente

q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.

As duas equações acima são as Identidades de Ward–Takahashi.

Agora, para o caso em que f=0, podemos esquecer todas as condições de contorno e localidade pressupostos. Temos simplesmente:

\left\langle Q[F]\right\rangle =0.

alternativamente,

\int d^{d}x\,J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.

A necessidade de reguladores e renormalização[editar | editar código-fonte]

Integrais de caminho como são definidos aqui exigem a introdução de reguladores. Mudar a escala do regulador leva para o grupo de renormalização. Na verdade, renormalização é o principal obstáculo para tomar integrais de caminho bem definidas.

A formulação em integral de caminho na interpretação da mecânica quântica [editar | editar código-fonte]

Em uma das interpretação da mecânica quântica, a interpretação de "soma sobre histórias", a integral de caminho é tomado com fundamental e a realidade é vista como uma "classe" simples e indistinguível de caminhos que compartilham os mesmos eventos. Para esta interpretação, é crucial entender o que exatamente é um evento. O método de somar sobre histórias fornece resultados idênticos aos da mecânica quântica canônica, e Sinha e Sorkin^[9] reivindicamos que tal interpretação explica o paradoxo de Einstein–Podolsky–Rosen sem recorrer a não-localidade. (Note que a interpretação de Copenhagein reivindica que não há paradoxo—apenas um desleixado materialismo motivado, em questão por parte de um trabalho Joseph Wienberg. Por outro lado, o fato de que o experimento mental do EPR (e seu resultado) representam os resultados experimentais da MQ diz que (apesar da dependência do caminho de paralelo/anti-paralelo na curvatura do espaço) todas as contribuições dos caminhos proximos à buracos negros cancelam a ação para um experimento do estilo EPR na terra.)

Gravidade quântica[editar | editar código-fonte]

Sendo a formulação de integral de caminho, na mecânica quântica, totalmente equivalente a outras formulações, seria possível ser estendida à gravidade quântica, a partir de um modelo do espaço de Hilbert diferente. Feynman teve algum sucesso nesta direção sendo o seu trabalho estendido por Hawking e outros.^[10] As abordagens utilizadas incluem métodos de triangulação dinâmica causal e modelos de spinfoam.

Tunelamento quântico[editar | editar código-fonte]

O tunelamento quântico pode ser modelado pelo uso da formulação de integral de caminho para determinar a ação da trajetória através de uma barreira de potencial. Usando a aproximação WKB, o a taxa de tunelamento (

\Gamma

) pode ser determinado por:

\Gamma =A_{o}\exp(-S_{eff}/\hbar )

sendo

S_{eff}

a ação efetiva e

A_{o}

um fator multiplicativo. Esta forma é especialmente útil em um sistema dissipativo, onde o sistema e o ambiente deve ser modelada juntos. Usando a equação de Langevin para o modelo de movimento Browniano, o caminho de formação integral que pode ser usado para determinar uma ação eficaz e pré-exponencial modelo para ver o efeito da dissipação no tunelamento .^[11] A partir deste modelo, taxas de tunelamento de sistemas macroscópicos podem ser previstas em temperaturas finitas.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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N l El tf l

P l Ml tfefel

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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terça-feira, 15 de janeiro de 2019

indeterminalidade de exclusão de Graceli em seu sistema decadimensional e categorial.

o princípio da exclusão é indeterminado no sistema decadimensional e categorial Graceli, porque não existe dois férmions idênticos, como também um estado quântico nunca se repete, ou seja, é indeterminado. como também para cada férmions se tem estados diferentes de energia, físico, potencial, fenomênico, transcendente, e outros, como também se tem variáveis de potenciais de transições de fases para cada estado.

com isto também não se tem produção de pares, simetrias, paridades, cpt.

O princípio de exclusão de Pauli é um princípio da mecânica quântica formulado por Wolfgang Pauli em 1925. Ele afirma que dois férmions idênticos não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente. Uma forma mais rigorosa de enunciar este princípio é dizer que a função de onda total de um sistema composto por dois férmions idênticos deve ser antissimétrica, com respeito ao cambiamento de duas partículas. Para elétrons de um mesmo átomo, ele implica que dois elétrons não podem ter os mesmos quatro números quânticos. Por exemplo, se os números quânticos

n

l

, e

m_{l}

são iguais nos dois elétrons, estes deverão necessariamente ter os números

m_{s}

diferentes, e portanto os dois elétrons têm spins opostos.

O princípio de exclusão de Pauli é uma consequência matemática das restrições impostas por razões de simetria ao resultado da aplicação do operador de rotação a duas partículas idênticas de spin semi-inteiro.

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle {\Big )}.

No entanto, se

\left|\psi _{1}\right\rangle

\left|\psi _{2}\right\rangle

são exatamente o mesmo estado, a expressão acima é identicamente nula:

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle =0.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível
x
decadimensional Graceli.

x

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3]Estruturas.

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5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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o princípio da exclusão é indeterminado no sistema decadimensional e categorial Graceli, porque não existe dois férmions idênticos, como também um estado quântico nunca se repete, ou seja, é indeterminado.

n

l

, e

m_{l}

são iguais nos dois elétrons, estes deverão necessariamente ter os números

m_{s}

diferentes, e portanto os dois elétrons têm spins opostos.

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle {\Big )}.

No entanto, se

\left|\psi _{1}\right\rangle

\left|\psi _{2}\right\rangle

são exatamente o mesmo estado, a expressão acima é identicamente nula:

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle =0.

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1]Espaço cósmico.

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3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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